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# Taking the Example from Lecture 12                                   #
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#a <- rbind(cbind(1,1,1,1,1),cbind(2,3,1,4,1))
a <- cbind(5,2,3,4,1)

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# First we compute a a'                                                #
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aat <- a%*%t(a)

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# Next, compute the eigenvectors for a a' -> u                         #
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eaat <- eigen(aat)
u <- eaat$vectors

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# Next, take the outer product of the matrices a'a                     #
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ata <- t(a)%*%a

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# The v matrix is the matrix of eigenvectors from this product         #
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eata <- eigen(ata)
v <- eata$vectors

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# The s matrix is the zero matrix with the first two diagonal elments  #
# being the square root of thenon-zero eigenvalues of the outer product#
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s <- matrix(0,nrow=nrow(a),ncol=ncol(a))

s[1,1] <- sqrt(eata$values[1])
#s[2,2] <- sqrt(eata$values[2])

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# Test for orthogonality                                               #
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print(a%*%v[,cbind(3,4,5)])